Page 40 - 157

Розглянемо деякі важливі приватні варіанти оцінок.
2
1. X – нормальна випадкова величина з відомою дисперсією  .
€

Потрібно по N спостереженнях оцінити її математичне очікування m.
Функція правдоподібності буде мати наступний вид:
1 2 1 2
 x  m X   x  m X 
1
n
1 2 1 2
L m  e 2 X  ... e 2 X 
X
2  X 2  X

1 N 2
  x  m X 
i
1 2
 e 2 X i 1 .
 2   N
X
Логарифмічна функція правдоподібності відповідно дорівнює
N 1 N 2
l m X   ln 2  X  N ln  X   x i  m X  .
2 2  2 i 1
X
Для перебування максимуму l(m) запишемо рівняння
dl m  1 N
X    x  m  0 ,
d m  2 2 i 1 i X
X X
звідки одержуємо оцінку методу максимальної правдоподібності
N x
m €  x   i . (2.7)
X N
i 1
2. X – нормальна випадкова величина з відомим математичним
2
очікуванням m. Потрібно оцінити дисперсію  . Запишемо логарифмічну
X
2
функцію правдоподібності для  :
X
2 N 2 1 N 2
l    X ln 2   N ln  X   x i  m X  .
2 2  2 i 1
X
Тоді рівняння правдоподібності буде мати вид
N
dl   2   N  1  x  m   ,
2
X
0
d   2 2 2 2 4 i 1 i X
X
X
X
2
звідки випливає, що оцінка дисперсії  виражається формулою
X
N
2
 € 2  1  x i  m X  . (2.8)
X
N i 1
3. X – нормальна випадкова величина, причому невідомі і підлягають
2
оцінюванню одночасно два параметри: m і  . Функції правдоподібності
X
будуть залежати від двох параметрів:
N 1 N 2
l m X  , 2   ln 2   N ln  2   x i  m X  .
X
X
2 2  2 i 1
X
Тоді оцінки методу максимальної правдоподібності є рішенням
системи рівнянь

36