Page 38 - 157

Вона виражає перевагу різних значень Θ при тій конкретній вибірці,
що фактично має місце.
€
Метод максимальної правдоподібності полягає в тому, що як оцінку 
невідомого параметра Θ вибирається його значення, яке максимізує функцію
правдоподібності. У багатьох випадках максимум цієї функції вдається
знайти аналітично, вирішуючи рівняння
dl  
 0 . (2.4)
d
Іноді зручніше знаходити максимум не самої функції L(Θ), а її
логарифма l(Θ)=ln L(Θ) за допомогою співвідношення
 
dl  d  N 
0
  ln f  ;x    (2.5)
d d  i   1 X i i 

Рівняння (2.4) чи (2.5) називають звичайно рівнянням
правдоподібності. Якщо не вдасться одержати його рішення аналітично, для
перебування максимуму функції правдоподібності використовуються
чисельні методи. В усіх випадках дуже корисним виявляється графічне
зображення функції правдоподібності.
Проілюструємо ідею методу максимальної правдоподібності на
простому прикладі.

Приклад 2.1. Нехай відомо, що випадкова величина підкоряється
двосторонньому експонентному розподілу (розподілу Лапласа)
   x
f X  ;x   e , де λ – невідомий параметр розподілу. Припустимо, що
2
мається вибірка обсягу N = 3, що містить наступні елементи: х 1 = -3; х 2 = -0,1;
х 3 = 2,9. Функція правдоподібності L(λ) (рис. 2.1) при цьому дорівнює
3
   3    1.0    9.2  6 
 
L    f X  ;x 1   xf X 2  ;  xf X 3  ;   e e e  e .
2 2 2 8
Максимум L(λ) досягається при λ = 0,5. Саме дане значення і варто
взяти як вибіркову оцінку максимальної правдоподібності параметра λ: λ =
0,5. Така оцінка дає краще значення параметра λ, оскільки при цьому
імовірність одержання вибірки максимальна.

34