Page 37 - 157

€
Θ: m €  M    . Для незміщеної оцінки характерна відсутність

€
f

систематичної погрішності: при довільному N щільність імовірності  
€

має своїм центром щире значення Θ. Якщо для будь-якого кінцевого N
€
€
справедливо   0M   , але lim M    , то оцінка Θ називається
N  
асимптотично незміщеною.
€
Незміщена оцінка  еф називається ефективною, якщо серед всіх оцінок
параметра Θ вона має найменшу дисперсію:

€
€
D    еф 2  M      2   min


€
 еф  
€
Показник ефективності e , для довільної оцінки  невідомого
€

параметра Θ уводиться співвідношенням
€
€
e  D     (2.1)

D

€
 еф
Ясно, що 0  e  1, причому e  1 для ефективної оцінки. Якщо
€
€
 
e €  1 для будь-якого кінцевого N, але lim e  1, то оцінка Θ називається
€
 
N 
асимптотично ефективною.
Властивості оцінок різних параметрів Θ багато в чому визначаються
видом закону розподілу досліджуваної генеральної сукупності, а також
способом оцінювання. В даний час відомі загальні методи, що дозволяють у
багатьох випадках вирішити задачу перебування «гарних» оцінок для різних
статистичних параметрів.

2.2 Метод максимальної правдоподібності

Метод максимальної правдоподібності є найбільш важливим загальним
методом оцінювання невідомих параметрів по експериментальним даним.
Нехай х 1, x 2, …, х N – вибірка з генеральної сукупності випадкової величини X
із щільністю імовірності f x(x; Θ), що залежить від постійного невідомого
параметра Θ. Вибіркова щільність імовірності для випадкової вибірки обсягу
N, мабуть, дорівнює
f X 1 , X 2 ,..., X N  ,x 1 x 2 ,..., x N ;   f X 1  ;x 1  f X 2 x 2 ;  ...  f X N x N ;   , (2.2)
оскільки за умовою елементи вибірки статистично незалежні.
До того, як зроблений експеримент, щільність імовірності (2.2) дає
уявлення про частоту одержання різних вибірок за умови, що задано. В
задачах оцінювання, після того як зроблений експеримент, значення вибірки
відомі – це деякі числа, а параметр Θ, навпаки, невідомий. Залежна від Θ
функція, що утвориться при підстановці вибіркових значень х 1, x 2, …, х N у
щільність імовірності (2.2), називається функцією правдоподібності L(Θ) для
параметра Θ:

L   f  ;x  f x ;  ...  f x ;   (2.3)
X 1 1 X 2 2 X N N

33