Page 41 - 157

 l m  , 2  1 N
 X  X   2  x i  m X   ;0
   m X 2  X i 1

 l m X  , 2    N  1 N x  m   .0
2
X
 2 2 4  i X
   X 2  X 2  X i 1
звідки одержимо
1 N
m € X  x   i
x ;
N i 1

2 1 N 2 1 N 2
 € X   x i  m € X    x i   x (2.9)
N i 1 N i 1
4. Х підкоряється експонентному розподілу виду
1  x m
f X   ex X ,    x   .
2
По N вимірах необхідно оцінити m. У цьому випадку
N
N  m
1  x m 1  x m 1  x m  1   x i X
L m X  e 1 X e 2 X ...  e N X    e i 1 ,
2 2 2  2 
N
1
l m X  N ln    x i  m .

X
2
i 1
Ясно, що максимум l(m) досягається при такому значенні m, коли сума
N
 x i  m мінімальна, тобто оцінка m повинна бути знайдена з умови
X
i 1
N
 x  m X  min . Отже, максимум функції правдоподібності не завжди
i
i 1
вдається знайти шляхом диференціювання. Оскільки функція l(m)
недиференційована, скласти рівняння правдоподібності виду (2.5)
N
неможливо. Однак легко знайти, що мінімальне значення  x  m
i X
i 1
досягається, якщо як оцінку m використовувати вибіркову медіану, тобто
€
m € X  M e . Для даного розподілу ефективною оцінкою математичного
очікування виявляється вибіркова медіана, а не найбільш розповсюджена
середньоарифметична оцінка (2.5).
5. Сукупність двох випадкових величин X 1 і X 2 підкоряється спільному
нормальному розподілу з щільністю імовірності (1.29). Мається N пара
вимірів х 1і, х 2i, i = l, 2,...,N. Потрібно знайти оцінки максимальної
правдоподібності для всіх п'яти параметрів розподілу, тобто для

m X 1 , m X 2  , 2 1  , 2 2  , .
X
X
Логарифмічна функція правдоподібності виражається формулою (2.10):

37