Page 36 - 157

для оцінювання того чи іншого параметра генеральної сукупності,
називається статистичною оцінкою (вибірковим значенням) даного
параметра. З приведених визначень випливає, що довільна статистика як
функція випадкових спостережень сама є випадковою величиною. G =
= g(х 1, x 2, …, х N), як і будь-яка інша випадкова величина, може бути описана
з імовірнісної точки зору шляхом завдання відповідної функції розподілу,
наприклад щільності розподілу f(g) або тих чи інших числових параметрів
розподілу, скажемо, математичного очікування m чи дисперсії D{G}.
Конкретне значення статистики g, знайдене за результатами даного
експерименту, може розглядатися як окремий представник, як реалізація
випадкової величини G. У загальному випадку функція f(g) залежить від
параметрів Θ 1, Θ 2, …, Θ d генеральної сукупності й обсягу вибірки N, тобто
f(g) = f(g; Θ 1, Θ 2, …, Θ d; N)
Природньо, що і будь-яка оцінка невідомого параметра Θ генеральної
сукупності є випадкова величина. У цьому її принципова відмінність від
самого оцінюваного параметра Θ, що є невипадковим. Для параметрів
генеральної сукупності і їхніх оцінок вводяться різні позначення: у
загальному випадку для позначення оцінки довільного параметра Θ
використовується спеціальний знак ^, так що параметру Θ відповідає оцінка
€
. Часто, коли параметри генеральної сукупності позначаються грецькими
2
буквами (скажемо, дисперсія  , коефіцієнт кореляції ρ і т.д.), відповідні
X
2
вибіркові значення позначаються латинськими буквами (S , r і т.д.). У
X
деяких випадках загальноприйняті спеціальні позначення, наприклад, x для
оцінки математичного очікування m. Імовірнісні властивості довільної
€
€
оцінки    X 1 , X 2 ,..., X N  параметра генеральної сукупності також можуть
€
f

бути визначені за допомогою вибіркової функції розподілу оцінки   і її
€

характеристик m і  D € .
€

Для оцінювання того самого параметра можна використовувати різні
оцінки (статистики). Щоб вибрати найкращу з них, необхідно сформулювати
деякі вимоги до властивостей оцінок, бажані з погляду практики, потреби
заможності, нерозв'язаності й ефективності оцінок.
€
Оцінка  параметра Θ називається заможною, якщо при
необмеженому збільшенні обсягу N вибірки її значення з повною мірою
вірогідності (з імовірністю 1) прагне до свого теоретичного значення Θ,
€
тобто   , коли N   . Це означає, що з ростом N вибірковий розподіл
усе в більшому ступені концентрується навколо Θ і точність оцінки
безмежно зростає. Зокрема, для заможної оцінки справедливо
€
lim D    X 1 , X 2 ,..., X N  0 .
N 
€
Оцінка  називається незміщеною, якщо для будь-якого обсягу N
€
вибірки математичне очікування оцінки  дорівнює оцінюваному параметру

32