Page 32 - 157

X  m X
1


де X - вектор-стовпець: X  1 ; С – коваріаційна матриця:
X  m
2 X 2
 2  X  X 
X
C  1 1 1 ;
 X 1  X 1   2 1
X
C - визначник коваріаційної матриці:

C   2 1  2 2  1  2  .
X
X
З (1.29) випливає, що лінії рівної щільності розподілу імовірностей f(x 1,
x 2) = const для двовимірного нормального розподілу мають вид еліпсів (рис.
1.7). Ступінь розсіювання двох випадкових величин в сукупності може бути
охарактеризована площею, обмеженою еліпсом, що відповідає визначеній
імовірності р влучення довільної точки (х 1, х 2) всередину еліпса. Оскільки ця
площа однозначно зв'язана з величиною визначника коваріаційної матриці С,
він може також слугувати числовим показником розсіювання двох
випадкових величин Х 1, Х 2. Звичайно показник C називають узагальненою
дисперсією.
Для однієї і тієї ж імовірності р = 0,39 на рисунку 1.8 зображені два
еліпси, що відповідають двом різним двовимірним нормальним законам
розподілу імовірностей з фіксованими значеннями m X 1 , m X 2 ,  ,  X 2 і
X
1
коефіцієнтами кореляції, що відрізняються: ρ 1 = 0,5 і ρ 2 = 0,793. Ясно , при ρ 1
= 0,5 розсіювання двох випадкових величин трохи більше, ніж при ρ 2 = 0,793.
Величини визначників C для цих варіантів рівні відповідно 0,75 2  2 і
X 1 X 2
0,375 2  2 ; площі, вкладені всередину зображених еліпсів, відрізняються
X 1 X 2
в 1,41 рази [6].
Кожна з двох випадкових величин, розподілених у сукупності по
двовимірному нормальному закону, також розподілена нормально
безвідносно до того, чи є ці випадкові величини залежними чи незалежними.
Зворотнє твердження, кажучи в загальному, невірне: спільний розподіл
нормального необов'язково повинен бути нормальним.
Якщо ρ = 0, то з (1.29) випливає

 2 
1  1  x  m X  
1
f  ,x x   exp   1   

1 2  
2 X 1  2   X 1  



 2 
1  1  x  m X  
2
 exp   2    f    .xfx

2 2    1 2
X 2   X 2  


тобто для випадкових величин Х 1 і Х 2, що підкоряються двовимірному
нормальному розподілу, некорельованість означає одночасно і їхню
незалежність.
Умовні розподіли xf 1 a 2  і xf 2 a 1  також нормальні з параметрами:
28