Page 30 - 157

 X , X  M  X  m X  m 
11 1 2 1 X 1 2 X 2
  (1.25)
   x 1  m X 1 x 2  m X 2   ,xf 1 x 2 dx 1 dx 2
  
Значення кореляційного моменту служить визначеною мірою
залежності між Х 1 і Х 2. Наприклад, якщо випадкові величини Х 1 і Х 2,
незалежні, те
 
 X , X    x  m x  m     dxxfxf dx  0. (1.26)
1 2 1 X 1 2 X 2 1 2 1 2
  
Зручніше як міру взаємозалежності випадкових величин
використовувати безрозмірний показник
 X , X 
 X , X  11 1 2 , (1.27)
1 2
 
X 1 X 2
називаний коефіцієнтом кореляції.
По фізичному змісту коефіцієнт кореляції є в загальному випадку
найпростішою, далеко не вичерпною характеристикою статистичного зв'язку
і визначає лиш ступінь лінійної залежності X 1 і Х 2.
Коефіцієнт кореляції може мінятися в діапазоні -1≤ρ{Х 1, X 2}≤1. Якщо
ρ{Х 1, X 2}=±1, то X 1 і Х 2 лінійно зв'язані, тобто Х 2 =a 1 + b. Якщо ρ{Х 1, X 2}=0,
то X 1 і Х 2 називаються некорельованими. Якщо X 1 і Х 2 – незалежні випадкові
величини, то для них, як це випливає з (1.26) і (1.27), ρ{Х 1, X 2}=0 і, отже,
вони є некорельованими. Зворотнє твердження в загальному випадку
невірно: X 1 і Х 2 можуть бути зв'язані навіть не статистично, а чисто
функціонально, і все-таки мати нульовий коефіцієнт кореляції (при цьому,
звичайно, зазначений функціональний зв'язок повинен бути нелінійної).
2
Наприклад, дві випадкові величини X 1 і X  X  m  зв'язані
2 1 X 1
функціонально, але для них ρ{Х 1, X 2}=0, якщо  X = 0.
3 1
Використовуючи умовні функції розподілу, можна ввести умовні
числові характеристики розподілів, такі як умовні математичні очікування
m X 1 a 2 , Xm 2 a 1  чи умовні дисперсії XD 1 a 2 , XD 2 a 1 :

m X 1 a 2   x 1 f x 1 a 2 dx 1 ;
 

m X a   x f x a dx ;
2 1 2 2 1 2
 
(1.28)

2
D X a   x  m x a  xf a dx ;
1 2 1 1 2 1 2 1
 

2
D X a  x  m x a  xf a dx .
2 1  2 2 1 2 1 2
 

26