Page 29 - 157

x
x
F x 1 a 2  f  ; F x 2 a 1  f  .
1
2

1.4 Числові характеристики двовимірних розподілів

При одержанні основних числових характеристик двовимірних
розподілів, як і раніш, може застосовуватися поняття математичного
очікування деякої функції g – тут функція двох змінних X 1, X 2:
 
M g   X , X    g  ,x x   ,xf x dx dx (1.21)
1 2 1 2 1 2 1 2
  
k k k k
1
Якщо g  X 1 X 2 чи g  X  m  X  m  , одержуємо
2
1 2 1 X 1 2 X 2
відповідно початковий m k 1 k 2 X 1 , X 2  чи центральний  k 1 k 2 X 1 , X 2  моменти
порядку k = k 1+k 2.
Математичні очікування випадкових величин X 1 і X 2, чи початкові
моменти першого порядку, визначаються наступними співвідношеннями:
   
m  m X , X  x f  ,x x dx dx  x f  dxx ;
X 1 10 1 2   1 1 2 1 2  1 1 1 
     
 (1.22)
  
m  m X , X    x f  ,x x dx dx   x f  dxx . 
X 2 01 1 2 2 1 2 1 2 2 2 2 
     
Аналогічно для дисперсій випадкових величин X 1 і X 2 маємо:
  
2 2
   X , X    x  m   ,xf x dx dx 
X 2 20 1 2 1 X 1 1 2 1 2 
   
 
2
  x 1  m X 1   dxxf 1 1 ; 
  
 (1.23)
 
2 2 
   X , X  x  m   ,xf x dx dx 
X 2 02 1 2   2 X 2 1 2 1 2 
  

 
2
  x 2  m X 2   dxxf 2 2 . 
  
Для сукупності двох випадкових величин Х 1 і Х 2 існує ще один
центральний момент другого порядку, названий змішаним центральним
моментом другого порядку, чи кореляційним моментом (коваріацією)
випадкових величин Х 1 і Х 2:
 X , X  M  XX  m m 
11 1 2 1 2 X 1 X 2
  (1.24)
   x 1 x 2 f  ,x 1 x 2 dx 1 dx  m X 1 m X 2
2
  
Іноді для обчислення цього моменту застосовують іншу формулу,
алгебраїчно еквівалентну (1.24):

25