Page 27 - 157

1.3 Двовимірні розподіли

Для завдання імовірнісних властивостей двох випадкових величин Х 1 і
X 2 використовуються двовимірні (спільні) функції розподілу імовірностей.
Двовимірна інтегральна функція F(x 1, x 2) дає імовірність події, яка
полягає в тім, що випадкові величини Х 1 і X 2 виявляться менше значень x 1 і
x 2 відповідно:
F(x 1, x 2) = P{ Х 1 ≤ x 1; X 2 ≤ x 2} (1.15)
Приведемо основні властивості функції F(x 1, x 2):
1) 0 ≤ F(x 1, x 2) ≤ 1; зокрема F(+∞, +∞) = 1; F(–∞, –∞) = 0; F(x 1, –∞) = 0;
F(–∞, x 2) = 0;
2) F(x 1, x 2) є функція неубутна, тобто F(x 1 + Δх 1, x 2) ≥ F(x 1, x 2); F(x 1, x 2 +
Δх 2) ≥ F(x 1, x 2), якщо Δх 1 > 0, Δх 2 > 0;
3) імовірність влучення в прямокутну область з вершинами в точках
(а 1, а 2), (a 1, b 2), (b 1, a 2) і (b 1, b 2) дорівнює
P{a 1 ≤X 1≤ b 1 , a 2 ≤X 2≤ b 2}=F(b 1, b 2) – F(a 1, b 2) – F(b 1, a 2) + F(а 1, а 2).
Якщо функція F(x 1, x 2) досить гладка, її можна продиференціювати,
одержавши двовимірну диференціальну функцію розподілу імовірностей
(двовимірну щільність імовірностей) (рис. 1.5):
d 2
f  ,x 1 x 2  F  ,x 1 x 2 , (1.16)
dx 1 dx 2
яка має наступні властивості:
1) f(x 1, x 2) ≥ 0;
 
2)   f  ,x 1 x 2 dx 1 dx  1;
2
  
x x 2
1
3)  ,xF 1 x 2    f  ,x 1 x 2 dx 1 dx
2
  
Імовірність події, яка полягає в тім, що випадковий вектор (X 1, X 2)
потрапить у деяку довільну область Ω, дорівнює
P   X , X    f  ,x x dx dx .

1 2 1 2 1 2

Геометрично ця імовірність відповідає відносному обсягу
циліндричного тіла, обмеженого знизу областю Ω, а зверху ділянкою
поверхні f(x 1, x 2).
По заданих двовимірних функціях F(x 1, x 2) чи f(x 1, x 2) легко знайти
функції розподілу імовірностей кожної з випадкових величин Х 1, Х 2:

F    Fx 1  ,x 1     FxF; 2   , x 2 ; 

   (1.17)
f  x  f  ,x x dx f ;    fx   ,x x dx ;
1 1 2 2 2 1 2 1 
    
Дві випадкові величини X 1 і Х 2 називаються незалежними, якщо їхня
спільна функція розподілу є добутком індивідуальних (часток) функцій
розподілу, тобто

23