Page 22 - 157

1) F(–∞) = Р {Х≤ – ?} =0 – як імовірність неможливої події;
2) F(+∞) =Р {Х ≤ + ?} = 1 – як імовірність достовірної події;
3) 0 ≤ F(x) ≤ l для всіх х;
4) F(x) – неубутна функція х, тобто F{x 2} ≥ F{x 1}, якщо х 2 > x 1 (рис 1.1).
За допомогою інтегральної функції розподілу легко визначити
імовірність улучення випадкової величини в будь-яку частину області її
можливих значень. Зокрема, імовірність улучення безупинної випадкової
величини в інтервал із граничними значеннями а і b дорівнює різниці значень
функцій розподілу, обчислених у цих двох точках, тобто Р{а<Х<b} =
= F(b) - F(a); аналогічно Р{Х>а} = 1 – Р(а).
Будемо надалі припускати, що інтегральні функції розподілу
безупинних випадкових величин диференційованих по всій області їхніх
можливих значень. Тоді закон розподілу імовірностей може бути описаний в
аналітичній формі за допомогою диференціальної функції розподілу
імовірностей f(x):
dF  x P x  X  x    x
f   x   lim ,  x  0 .
dx  x 0  x
Якщо Δх – досить мала величина, то
P x  X  x    x
f  x  ,
 x
тобто функція f(x) приблизно дорівнює відношенню імовірності влучення
випадкової величини всередину інтервалу (х, x + Δх) до довжини інтервалу

Δх. Тому f(x) часто називають функцією щільності розподілу імовірностей,
чи просто функцією щільності імовірностей. Основні її властивості наступні:
1) f(x) ≥ 0;

2) f  dxx  1;

 

3) f  dzz  F  x (z — змінна інтегрування).

 
Знаючи f(x), легко обчислити імовірність перебування випадкової
величини всередині будь-якої частини з області її можливих значень:
a 2
P   Xa 1  a 2  f  dxx ; (1.1)

a
1
a 
P   aX  f  dxx ; P   bX  f  dxx (1.2)


  b
Геометрично зазначеним імовірностям відповідають відносні площі під
кривою функції f(x).

1.2. Числові характеристики випадкових величин і їхніх функцій розподілу

Основою більшості числових характеристик випадкової величини
служить математичне очікування функцій випадкової величини.

18