Page 23 - 157

Якщо X – випадкова величина, то довільна функція g(X) також є
випадковою величиною. Тоді математичне очікування цієї функції, що
позначається M{g(X)}, визначається співвідношенням

M{g(X)} = g     xfx dx . (1.2)

 
Математичне очікування M{g(X)} є результат імовірнісного
усереднення функції g(x), тобто усереднення її з вагою, рівною функції
щільності імовірності f(x).
Математичне очікування M{g(X)} для заданого виду функції g(X) і
функції щільності є деяке невипадкове число.
Скориставшись поняттям математичного очікування, вкажемо ряд
числових характеристик випадкової величини:
а) початковий момент k-гo порядку m k{Х} є математичне очікування
k
функції g(X) = X :

m     MX X k  x k  f  dxx . (1.4)
k
 
Зокрема, якщо k = 1, одержуємо математичне очікування (чи середнє
значення – середнє, як і раніше, у імовірному змісті) самої випадкової
величини X:

m   MX  X  x  f  dxx  m ; (1.5)
1 X
 
б) центральний момент k-го порядку m k{X} є математичне очікування
k
функції g(X) = (X – m х) :

k k
   XMX    m      mx   f  dxx . (1.6)
k X X
 
Другий центральний момент μ 2{X} називається дисперсією випадкової
2
величини X і  і позначається D{X}:
X

2 2 2
D   XMX    m      mx  f  dxx   . (1.7)
X X X
 
Легко показати також, що
2 2
 X  m 2   mX  X . (1.8)
2
Величину  X    називають середньоквадратичним відхиленням
X
випадкової величини.
Математичне очікування m і середньоквадратичне відхилення σ X (чи
2
дисперсія  ) є найбільш вживаними числовими характеристиками
X
випадкової величини. Вони цілком визначають одну з найбільш важливих
функцій розподілу, а саме так званий нормальний розподіл. Однак і для
інших розподілів ці характеристики дають можливість у першому
наближенні оцінити характер функцій розподілу і вказують центр

19