Page 140 - 157

8.1 Функціональна залежність

Потрібно найти функцію у = f (х), значення якої при х = х 1, х 2, …, х n
можливо менше відрізнялося б від емпіричних значень у 1, у 2, …, у n. В основу
вирішення покладено принцип Лагранжа, по якому сума квадратів відхилень
емпіричних значень у і, визначається за формулою, і повинна бути найменшою.
Так як більшість функцій може бути представлено в виді многочлена n-го
степеня, то при вирівнюванні доцільно представити залежність між змінними в
виді параболи n-го степеня:
n
2
у = а 0 + а 1х + а 2 х + … +а n х , (8.1)
де а 0 ,а 1, а 2, …, а n – невідомі параметри. Для їх знаходження скористаємося
інтерполяційною формулою Чебишева [10], [18], яка має вигляд у = k 0 q 0 (х) +
+ k 1 q 1 (х) + k 2 q 2 (х) + … + k  q  (х). Тут величина   n – 1 характеризує
порядок параболи; n – число значень незалежної змінної. В цій формулі
 u
аргументом виступає величина x  , де u  i .
u
n
Послідовність обрахунку і способи визначення вхідних в інтерполяційну
формулу коефіцієнтів покажемо на прикладі (таблиці 8.2)

Таблиця 8.2 – Результатів розрахунків

Функ- Аргу
2 2 2 3 4 3 5 6
№ ція мент y x  u  u x i y x x y x x x y x x 2f (u) 3f (u)
i i i i i i i i i i i i i
у х
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15
1 2 1 4 –6 –12 36 72 –216 1296 –482 7776 46656 2,9 2,1
2 10 3 100 –4 –40 16 160 –64 256 –640 1024 4096 9,6 13,1
3 17 4 289 –3 –51 9 153 –27 81 –459 243 729 16,3 20,6
4 33 6 1089 –1 –33 1 33 –1 1 –33 1 1 35,6 37,7
5 51 7 2601 0 0 0 0 0 0 0 0 0 48,5 48,4
6 66 8 4356 +1 +66 1 66 1 1 66 1 1 63,5 61,2
7 96 10 9215 +3 +288 9 864 27 81 2592 243 729 99,8 95,3
8 120 11 14400 +4 +480 16 1920 64 256 7680 1024 4096 121,2 117,6
9 172 13 29584 +6 +1032 36 6192 216 1296 37152 7776 46656 170,3 175,3
Сума 567 63 61639 1730 124 9160 0 3268 45926 0 102964

Визначення параболи нульової степені

Находимо  y  567 і заносимо її в колонку 2 (таблиця 8.2).
i
 y 567
Визначаємо величину k 0. Вона рівна k  t   63.
0
n 9
0
Для рівняння параболи нульового порядку q 0 = (x) = x = 1.
Знаходимо рівняння параболи нульового порядку
0f(x) = k 0 q 0 (x) = 63.

162