Page 77 - Лекція 6

n n b
L= lim li lim 1 x ( ' f ( * )) 2 xi 1 x ( ' f ( )) 2 dx
0 0 i a
i 1 i 1
b
Отже, L= 1 x ( ' f ( )) 2 dx (6.9)
a
Цей інтеграл існує, оскільки похідна f (x) непе-
рервна на відрізку [a,b],а значить неперервною є і функція

1 ' f 2 .
Наслідок1. Якщо дуга АВ задана параметрично x=x(t),
y=y(t), t , x’(t), y’(t) неперервні, то
b 2 2
L= ' x ' y dt (6.10)
a
Наслідок 2. Якщо дуга задана в полярній системі
/
координат = ( ), і неперервна, то
b
L = 2 ' 2 d (6.11)
a
Доведення. Вважатимемо, що дуги задано парамет-
рично:
/
/2
/2
2
x= cos , y= sin . Тоді x +y =( cos - sin ) +
/2
/
2
2
+( sin + cos ) = + .
Застосовуючи формулу (6.10), дістанемо (6.11).
Приклади.
2
1. Обчислити довжину L дуги параболи y=x ,що знаходи-ться
між точками О(0;0) і А(1;1)
2
Роз’язання. Ця дуга є графіком функції y=x , х [0;1]. Тому
згідно з формулою (6.9)
1
1 1 1 1 1
L 1 ) x 2 ( 2 dx 2 x 2 dx x x 2 ln( x x 2
4 4 4
0 0 0
5 ln( 2 5 ).
2