Page 74 - Лекція 6

Розіб’ємо [ , ] на n частин. Для [ i-1, і], вважа-
* *
тимемо, що ( )=const= ( і ) для довільного і [ i-1, і].
Тоді площа відповідного сектора:
1 2 ( * )( ) 1 2 ( * )

S i= 2 i i i 1 2 i i
Отже,
n n 1
S D S ; S lim 2 ( i )D i ,
i
i 1 0 i 1 2
де =max і. Тоді

1
S 2 ( d ) (6.6)
2
Приклад. Обчислити площу фігури, обмеженої
лемніскатою =a cos 2
Розв’язання. Фігура, обмежена лемніскатою (рис.6.9),
симетрична відносно горизонтальної і вертикальної прямих,
проведених через полюс; тому досить обчислити площу S 1
четвертої її частини. Цій площі відповідає центральний кут

[0, ]. Згідно з формулою (6.6)
4

4 4 4
1 2 2 2 2
S 4 S 1 4 a cos 2 d a 2 cos 2 d a sin 2 a
2
0 0 0