Page 58 - Лекція 6

b b b
udv d uv( ) vdu
a a a
b
b
Оскільки d uv( ) uv , то маємо
a
a
b b
udv uv b vdu.
a
a a
/
/
Функції uv і vu неперервні (за умовою) на відрізку a b, ,
тому інтеграли, що є в (5.3) , існують.

Приклади. Обчислити інтеграли:
e 2
x
1) I 1 x cos xdx 2) I 2 x 2 ln xdx 3) I 3 e sin xdx
0 1 0
Poçâ’язання.
x , u du dx
1) I 1 x cos xdx

0 cos xdx dv , v sin x

x * sin x sin xdx cos x 2.
0 0
0
dx
e ln x , u du
) 2 I 2 x 2 ln xdx 1 x
1 x 2 dx dv , v x 3
3
e 3
1 x 3 ln x e 1 x dx 1 e 3
3 1 3 x 3
1
e e e 2 3 1
1 x 2 dx 1 e 3 1 x 3 .
3 3 9 1 9
1
2 e x , u du e dx
x
3) I 3 e x sin xdx
0 sin xdx dv , v cos x
2
e x cos x 2 e x cos xdx
0
1
x
e x , u du e dx
cos xdx dv , v sin x
2
1 e x sinx 2 e x sin xdx 1 e 2 I
0 3.
1