Page 54 - Лекція 6

Отже, вираз (4.8) є первісною для неперервної функції
y=f(x).Це випливає із означення первісної і теореми Барроу.
Теорема. Якщо функція F(x) є первісною для неперервної
функції f(x), то
b
b
f x dx( ) F b( ) F a( ) F x( ) . (4.9)
a
a
Формулу (4.9) називають формулою Ньютона-Лейбніца, а
іноді основною формулою інтегрального числення.
Доведення. За умовою F(x) є первісною для неперервної
функції y=f(x), а Ф(х)– первісна за теоремою Барроу, тому F(x)
і Ф(x) відрізняються лише на сталу:
x F x C , тобто
x
f t dt( ) F x( ) C. . (4.10)
a
Нехай x=a в (4.10). Тоді
a
f x dx( ) F a( ) C 0, звідки C=-F(a) .

a
Нехай x=b. Тоді
b
b
f x dx( ) F b( ) F a( ) F x( ) .
a
a
Наслідок. Справедливі формули
b a a
f x dx( ) f x dx( ) і f x dx( ) 0 .

a b a