Page 56 - Лекція 6

Лекція 5

Методи обчислення визначеного інтеграла .
Невластиві інтеграли

Оскільки для знаходження визначеного інтеграла треба
спочатку знайти невизначений інтеграл (первісну), а потім
скористатися формулою Нютона-Лейбніца, то методи
обчислення визначеного інтеграла збігаються з методами
знаходження невизначеного інтеграла. Таких методів є два:
заміна змінної та інтегрування частинами.

5.1. Інтегрування заміною змінної (метод підстановки)

Теорема. Якщо функція f(x) неперервна на відрізку [a,b] , а
функція x= (t) і її похідна ( )t неперервні на відрізку [ , ]

, причому a ( ) t ( ) ( ) b для всіх t , , то

b
f x dx( ) f ( ( t)) ( t dt) . (5.1)

a
Доведення. Нехай Ф(x) - яка - небудь первісна функції f(x) на
відрізку a b, ; тоді - функція Ф( ( t)) є первісною для

функції f ( ( t)) t ( ) на відрізку , тому за форму-лою
Ньютона-Лейцбніца

f ( ( t)) ( t dt) Ф( ( t))

f ( ( t)) ( t dt) Ф( ( t)) Ф( ( )) Ф( ( ))

(5.2)
b
Ф b( ) Ф a( ) f x dx( )

a
Формула (5.1) називається формулою заміни змінної у
визначеному інтегралі , або формулою інтегрування
підстановкою. На відміну від невизначеного інтегралу тут не
потрібно повертатися до старої змінної, але треба поміняти
межі інтегрування.
Приклади. Обчислити інтеграли:

1 3
2
1)I 1 1 ( x ) x 10 dx 2)I 2 x 1 x dx
0 0