Page 57 - Лекція 6

2
3 1 tg x
3) dx
1 ( tgx ) 2
4
Розв’язання.:

1 x t
1 2
) 1 I 1 1 ( x ) x 4 dx dx dt t ( t ) 1 4 dt
0 0 / x ... 1 1
1 / t ... 2
1 ( t 6 6 1 t 5 5 ) 2 21 2 31 5 3 . 4
1

1 x 2 t 2
3 2 t 3 2 7
2
2
2)I 2 x 1 x dx xdx tdt t dt .
0 1 3 1 3
x 0 / ... 3
/ t 1 2...

3 1 tg 2 x tgx u
) 3 I 3 dx du / x 4 ... 3
1 ( tgx ) 2 dx 2 ,
4 1 u 1 / u ... 3
1 u t
3 2 3
1 ( u ) du du 1 / u ... 3
1 ( ) u 2 1 ( u 2 ) 1 ( ) u 2 du , dt
1 1 2 / t ... 3 1
3 1
dt 1 3 1 2 3 .
t 2 t 2 2
2
5.2. Інтегрування частинами
Теорема. Якщо функції u(x) і v(x) неперервні разом зі своїми
/
/
похідними u (x) та v (x) на відрізку [a,b], то
b b b
) x ( u v ) x ( dx ) x ( u ) x ( v ) x ( v u ) x ( dx . (5.3)
a
a a
Для скорочення записів аргумент в дужках писати не будемо;
b
врахуємо, що v dx=dv, u dx=du, і d uv( ) uv b
/
/
a
a
Відомо d(uv)=vdu+udv , звідси udv= d(uv)- vdu.
Зінтегруємо останню рівністьв межах від а до b.