Page 62 - Лекція 6

dx
4. Обчислити .
1 x 2

Розв’язання.
dx 0 dx dx
J J 1 J 2
1 x 2 1 x 2 0 1 x 2 .

0 dx 0 dx
J 1 lim lim arctgx 0 lim arctga
1 x 2 a a 1 x 2 a a a 2
;

dx b dx b
J 2 2 lim 2 lim arctgx 0 a lim arctgb
0 1 x b 0 1 x b 2
Тоді J J 1 J 2 2 2 , тобто інтеграл збігаєть-ся.

Ознаки збіжності невластивих інтегралів першого роду.

Якщо функція f(x) знакостала, а її первісна невідома, то
питання про збіжність інтеграла від такої функції можна
розв’язати за такими ознаками.
Теорема 1. Якщо x a; , 0 f x g x і

J 1 f x dx , J 2 g x dx ,то із збіжності інтеграла J 2

a a
випливає збіжність інтеграла J 1, а з розбіжності J 1 випливає
розбіжність J 2.
Зазначимо, що спочатку треба зінтегрувати задану в
теоремі нерівність на [a,b], а потім перейти до границі при b
. Щоб користуватись цією теоремою, треба мати набір
стандартних інтегралів і наперед відому інформацію про їх
збіжність та вдало скористатися нерівністю.
dx
Приклад 1. Дослідити на збіжність інтеграл p ,
a x
a 0, p R
.
Розв’язання.
1) p=1, тоді інтеграл розбігається (прикл.1);
2) p 1, тоді
b x 1 p b
p
J lim x dp lim
b b 1 p
a a
, якщо p 1 ,
1
lim b 1 p a 1 p 1
1 pb a 1 p , якщо p 1 .
p 1