Page 63 - Лекція 6

dx
Отже, інтеграл збіжний при p>1 і розбіжний при p 1.
x p
a
dx
Приклад 2. Дослідити на збіжність інтеграл j ..
x 1 x
1
Розв’язання.
dx dx dx
Оскільки f x g x , а інтеграл
x 1 x x x 3
x 2
dx 3
3 збігається p 2 1 , то і J також збігається.
1 x 2
f x
Теорема 2. Якщо існує скінченна границя lim k ,
x g x

0<k<+ , ( f(x)>0, g(x)>0 ), то інтеграли f x dx і
a

g x dx або одночасно збігаються, або одночасно роз-

a
бігаються.
1 2x
Приклад 3. Дослідити на збіжність інтеграл dx .
x 2 1 x
1
dx
Розв’язання. Відомо, що інтеграл збіжний.
x 2
1
f x 1 x 2 1 1 x 2
lim lim : lim 2
x g x x x 1 x x 2 x 1 x
2
Знайдемо
1 2x
Отже , інтеграл dx збіжний.
2
x ( 1 x)
1

5.4. Невластиві інтеграли другого роду.
Означення. Невластивим інтегралом другого роду функції f(x)
на [a,b] за умови, що f(x) має розрив другого роду при x=b (x=a
чи x=c (a,b)), називаються відповідно інтеграли
(рис. 5.3; 5.4; 5.5):
b b
f x dx lim f x dx
0
a a (5.7)