Page 52 - Лекція 6

Деякі з цихвла стивостей випливають з означення (4.5), а
доведення інших властивостей зрозумілі інтуїтивно
(властивість 1-6 довести самостійно)

4.4. Обчислення визначеного інтеграла за допомогою
невизначеного інтеграла.

Як випливає з усього попереднього , в самій
математиці і її застосуванні надзвичайно важливу роль
відіграють два типи границь. Один із них
x ( f ) x ) x ( f
lim f ) x ( дає нам похідну,
x 0 x
n
а інший – lim ( f x * ) x - визначений інтеграл від
i
i
d 0 i 1
функції. Важливе значення має теорема Барроу, яка
встановлює зв’язок між цими двома поняттями. Її називають
основною теоремою диференціального і інтегрального
числення. Щоб перейти до неі, розглянемо визначений
інтеграл як функцію від його верхньоі межі (інтеграл із
змінною верхньою межею)
x
Ф x( ) f x dx( ) (4.8)
a
b b
Ми скористались тим, що f x dx( ) f t dt( ) .

a a
Теорема (Барроу). Якщо f неперервна функція на [a,b] то
/
Ф (x)=f(x) ,тобто Ф(х) є первісною для інтегровної функції.

Доведення. Знайдемо похідну функції Ф(х), тобто