Page 50 - Лекція 6

b c b
f ( x) dx f ( x) dx f ( x) dx
a a c
при довільному розміщенні точок a, b, c (якщо с [ a, b ], то
властивість очевидна; в загальному випадку …
4. Інтегрування нерівності. Якщо f 1(x) f 2(x), x ( a, b ), то
b b
f ( x) dx f ( x) dx
1
2
a a де a < b.
5. Оцінка модуля інтеграла
b b
f (x )dx f (x )dx .
a a

6.Теорема про середнє значення. Якщо f(x) неперервна на
[ a, b ], то c [ a, b ] таке, що
b
f ( x) dx f ( c) b ( a)

a (4.6)
Геометричне тлумачення теореми при f(x) 0 і f С [ a, b ] таке:
криволінійна трапеція рівновелика з відповідним
прямокутником, який має з трапецією спільну основу
( рис. 4.3 ).
Доведення. Знеперервності f(x) випливає обмеженість її на
[a,b], тобто існують m<M такі, що m f(x) M на [a,b].
Зінтегруємо останню нерівність скориставшись власти-вістю
b b b
4. Маємо mdx f x dx( ) Mdx ,
.
a a a
b
або m b a( ) f x dx( ) M b a( ) (4.6)
a