Page 47 - Лекція 6

що n , а навпаки – ні. Для зручності будемо писати в (4.1) -

(4.3) max x i 0. Позначимо max x i= і в (4.1) - (4.3) будемо
писати x 0.

3.2. Означення й тлумачення визначеного інтеграла.

У розглянутих задачах застосовувався один і той же
підхід, що зводився до знаходження границі сум певного
вигляду. До виконання такої операції (знаходження границь
аналогічних сум) приводять багато задач природознавства і
техніки. Тому є сенс вивчити такі суми і їх границі, ( їх
називають визначеними інтегралами) уже не інтересуючись
конкретними тлумаченнями їх. Суми типу (4.1 - 4.3)
називають інтегральними сумами Рімана
( Б. Ріман (1826-1866) - німецький математик).
Нехай функція f(x) – неперервна на [ a, b ]. Виконаємо
наступні операції: розіб’ємо відрізок [ a, b ] на n частин
точками
a = x 0 < x 1 < x 2 < … < x n-1 <…<x n = b ;
*
виберемо на кожному відрізку [x i-1, x i ] по одній точці x i
*
і обчислимо f(x i ) – значення функції f в цій точці;
*
помножемо значення f(x i ) на x i довжину відповідного
відрізка [x i-1, x i ] і додамо всі знайдені добутки
n
*
*
*
f(x i ) x i + f(x 2 ) x 2 +… +…+ f(x n ) x n = f x( * ) x (4.4)
i
i
i 1
Суми типу (4.4) назвемо інтегральними сумами Рімана
для функції f(x) на [ a, b]; знайдемо границю інтегральних сум
(3.4) за умови, що = max x i 0, якщо вона існує.
Означення. Границя інтегральних сум ( Рімана ) для даної
функції f при n і 0 за умови, що ця границя не
залежить від способу розбиття інтервалу [ a, b ] на частини