Page 37 - Лекція 6

R x, a 2 x 2 dx R x, a 2 x 2 dx

R x, x 2 a 2 dx

зводяться до інтегралів від раціональних функцій відносно
косинуса і синуса за допомогою тригонометричних підста-
новок, відповідно:

1. x=a·sin t (або x=a·cos t);
2. x=a·tg t (або x=a·ctg t);
3. x=a·sec t (або x=a·cosec t).

Приклад.
dx
x 2 a 2 .
Обчислимо цей інтеграл за допомогою підстановки
a cos t 2 2
x=a·cosect; тоді dx dt і x a a ctgt .
sin 2 t
Маємо
a cos t dt
dx sin 2 t dt sin t dt d cos t J

x 2 a 2 a ctg t sin t sin 2 t 1 cos 2 t

Покладемо cos t=u .Тоді інтеграл

du 1 1 u 1 1 cos t 1 1 cos t 2
J ln C ln C ln C
1 u 2 2 1 u 2 1 cos t 2 1 cos 2 t

1 ln 1 cos t 2 C ln 1 cos t C ln 1 ctg t C
2 sin 2 t sin t sin t

Повертаючись до змінної x дістанемо