Page 41 - Лекція 6

y 2 1 x 2 e 2 C Отже, функцію f x( )треба
x 2 1

шукати в класі функцій

x 2 2 C
y e 1 за умовою f ( )1 0 Тоді з
x 2 1
1
рівності e 2C 1 0 дістаємо C ln 2 і функція
2

x 2 1
f x( ) .
x 2 1
При розв’язуванні задач такого типу після інтегрування
часто дістаємо рівняння, яке не можна роз- в’язати відносно
змінної y, тобто розвязком задачі є неявна функція (функція
задана рівнянням).

Приклад 3.

Знайти криву , яка проходить через точку A(1,2) і кожна
дотична до цієї кривої перетинає пряму y=1 у точці з
абсцисою , що дорівнює подвійній абсцисі точки дотику
Розв язання. Нехай M(x,y) - довільна точка шуканої
кривої. Тоді рівняння дотичної до кривої , що проходить
через т. M(x,y), має вигляд

Y y ( ' y X ) x ,
де (X,Y) - біжучі координати точок дотичної.
За умовою точка (2x,1) належить дотичній , тобто
справедлива рівність
1 y y ( 2x x).
Отже , задача звелась до відшукання функції y = f(x), для
1 y
якої f ( )1 2 і похідна подається у вигляді y .
x