Page 32 - Лекція 6

Приклад.

dx
.
1 sin x
x
Покладемоt tg . Тоді x 2 arctgt ,
2
2 dx t 2
dx , sin x і
1 t 2 1 t 2
dx dt d 1 t 1 2
2 2 2 C C
1 sin x 1 t 2 1 t 2 1 t 1 tg x
2
Зауважимо, що хоча при інтегруванні функцій
виду R(sin x,cos x) можна завжди перейти до
інтегрування раціональних функцій за допомогою
універсальної підстановки, але така раціональна функція може
привести до досить громіздких викладок, тому варто
попередньо перевірити, чи не можна застосувати інший метод
або підстановку, яка допоможе спростити обчислення
інтеграла. У деяких окремих випадках обчислення інтегралів
такого виду може бути спрощено.
1). Якщо R(sin x, cos x) – непарна функція відносно sinx,
тобто якщо R(-sinx, cosx)= -R(sinx, cosx), то інтеграл
раціоналізує підстановка cosx=t;
2). Якщо R(sinx, cosx) – парна функція відносно cosx,
тобто якщо R(sinx;-cosx)= -R(sinx,cosx), то інтеграл
раціоналізує підстановка sinx=t;
3). Якщо R(sinx, cosx) – непарна функція відносно
sinx і cosx, тобто якщо R(-sinx;-cosx)=R(sinx,cosx), то інтеграл
раціоналізує підстановка tgx=t.

3
5
cos x cos x dx
Приклад.
4
2
sin x sin x