Page 15 - Лекція 6

1
x
x
x
2I = -e cosx + e sinx, a звідси I = e (sinx – cosx) + C.
2
У прикінцевому результаті ми додали до знайденої
первісної функції довільну сталу С .
Саме методом інтегрування частинами можна
проінтегрувати цілий ряд функцій, в яких lnx, arcsinx, arctgx є
множниками.
Метод інтегрування частинами часто спрощує
обчислення інтеграла і в тому випадку, коли даний інтеграл
можна знайти, наприклад, методом підстановки.
Загалом розумне поєднання різних методів може значно
спростити і прискорити обчислення інтегралів. Наприклад,
перед тим як проінтегрувати частинами, інколи доцільно в
підінтегральному виразі виконати підстановку, яка й спростить
його. І саме головне вдало вибрати u i dv.
Приклад 4.
4
Знайти інтеграл xln(4 + x )dx.
2
Розв’язання. Покладемо t = x , тоді dt = 2xdx, i
1
2
2
xln(4 + x )dx = ln(4 + t )dt =
2

2
ln(4 + t ) = u , dt = dv
2
2tdt 1 t dt
2
= du = , v = t = (t ln(4 + t ) - =
4 t 2 2 4 t 2..
t t 2 4 4 t dt
2
2
= ln(4 + t ) - dt = ln(4 + t ) - dt + 4 =
2 4 t 2 2 4 t 2
t t x 2
4
2
2
= ln(4 +t ) – t + 2arctg +C = ln(4 + x ) – x +
2 2 2
x 2
+ 2arctg + C.
2