Page 14 - Лекція 6

1)
u x, du dx
x
x
xe dx xe x e dx xe x e x C.
x
dv e dx, v e x

x
x
x
Покладемо u=x . dv=e dx , тоді du=dx , v= e dx=e ,
й, отже, за формулою (1.4) маємо
x
x
x
xe dx x e x e dx xe x e x C e x( ) 1 C.

2)
dx
u arctgx du, xdx
arctgxdx 1 x 2 x arctgx 2
dv dx v x, 1 x
2
1 d(1 x ) 1 2
xarctgx xarctgx ln(1 x ) C.
2 1 x 2 2

Іноді доводиться застосувати інтегрування частинами декілька
разів.

3) Знайти інтеграл:
x
e sinxdx = I.
x
x
Розв’язання. Нехай u = e , dv = sinxdx, тоді du = e dx,
v = -cosx, й,отже, маємо
x
x
I = -e cosx + e cosxdx.
Здається, що інтегруванням частинами ми не досягли
мети, оскільки інтеграл не спростився. Спробуємо ще раз
зінтегрувати частинами:
x
x
u = e , dv = cosxdx, звідси du = e dx, v = sinx . Тоді
x
x
x
x
I = -e cosx + (e sinx – I), тобто I = -e cosx + e sinx – I.
У правій частині отримали вихідний інтеграл. Маємо
рівняння з невідомим інтегралом І. З цього рівняння
знаходимо