Page 12 - Лекція 6

методом заміни змінної або підстановки.Він грунтується на
властивості 6.
f(x)dx = f( (t)) / (t)dt (1.3)
Цю формулу називають формулою заміни змінної у
невизначеному інтегралі.
Приклад 1. Обчислити інтеграл:

x 3
dx
( x 1) 2
Розв’язання. Покладемо x – 1 = t, тоді x = t + 1 і dx = dt. За
формулою (1.3).
x 3 (t 1 ) 3 3 1
dx = dt = (t + 3 + + )dt =
( x 1) 2 t 2 t t 2
1 1
2
= t + 3t + 3ln t - + C =
2 t
1 1
2
= (x-1) – 3(x – 1) + 3ln x - 1 - + C.
2 x 1
Зауваження. При заміні змінної в невизначеному
інтегралі іноді зручніше задавати не х як функцію від t, а,
навпаки, t як функцію від х.
Приклад 2. Обчислити інтеграл:
4
x dx

x 5 7
4
5
Розв’язання. Покладемо x + 7 = t, dt = 5x dx, тоді
4
x dx 1 dt 1 ln t C 1 ln x 5 7 C.
x 5 7 5 t 5 5

Зауважимо, що вдачно вибрати підстановку не так то
вже й просто. Значно полегшує це володіння технікою
диференціювання і знання табличних інтегралів.
Приклад 3. Обчислити інтеграл: