Page 8 - Лекція 6

1.3. Властивості невизначеного інтеграла

1. Похідна від невизначеного інтеграла дорівнює
підінтегральній функції:
/
( f(x)dx) = f(x)
Це випливає з означееня 1.2, оскільки f(x)dx = F(x) + C, a
/
(F(x) + C) = f(x)
2. Диференціал від невизначеного інтеграла дорівнює
підінтегральному виразу:
d( f(x)dx) = f(x) dx
3. Невизначений інтеграл від диференціала функції дорівнює
сумі цієї функції і довільної сталої С:
dF(x) = F(x) + C
/
Доведення. Відомо, що dF(x) = F (x)dx = f(x)dx.
Інтегрування останньої рівності дає
dF(x) = f(x)dx = F(x) + C.

5
5
Приклади. 1) d(x ) = x + C;
2) d(sinx) = sinx + C.
4. Сталий множник підінтегрального виразу можна винести за
знак інтеграла:

kf(x)dx = k f(x)dx, (k 0)
Доводиться це за допомогою диференціювання обох
частин записаної рівності:
/
/
/
( k f(x)dx) = k f(x); (k f(x)dx) = k ( f(x)dx) = k f(x).
5. Інтеграл від алгебраїчної суми двох функцій дорівнює сумі
інтегралів від цих функцій:
(f 1(x) + f 2(x))dx = f 1(x)dx + f 2(x)dx.
Доведення. За властивістю 1 маємо:
/
/
( (f 1(x) + f 2(x))dx) = f 1(x) + f 2(x) і ( f 1(x)dx + f 2(x)dx) =
/
/
= ( f 1(x)dx) + ( f 2(x)dx) = f 1(x) + f 2(x).
Це й доводить властивість. Причому властивість справ-
джується для будь-якого числа доданків.
6. Якщо функція f(x) неперервна на( а , b ), а х = (t) має
/
неперервну похідну (t), то
f(x)dx = f( (t) / (t)dt ( 1.2 )
Доведення. Для лівої частини цієї рівності маємо
/
( f(x)dx) x = f(x),