Page 97 - Лекція 1

2) будь-якій парі комплексно спряжених коренів
характеристичного рівняння k 1 i k, 2 i, кожен
з яких має кратність r, відповідає 2r частинних розв’язків
y 1 e x cos x y, 2 xe x cos x,...,

y r x r 1 e x cos x y, r 1 e x sin x, (6.10)

y r 2 xe x sin x,..., y r 2 x r 1 e x sin x.

Число таких розв’язків, що відповідають всім дійсним і
комплексним кореням характеристичного рівняння (6.8),
дорівнює n. Ці розв’язки( можна довести) утворюють
фундаментальну систему частинних розв’язків.
Приклади.Розв’язати рівняння:

1). y 5 y 8 y 4 y 0.

Це є лінійне рівняння третього порядку із сталими
коефіцієнтами. Для знаходження його загального розв’язку
згідно формули (6.5) необхідно знайти три частинних
розв’зки. Складемо характеристичне рівняння
2
3
2
k -5k + 8k- 4 = 0 (k-1) (k - 4k + 4) = 0
2
(k-1) (k-2) = 0. Його корені k 1 = 1, k 2 = k 3 = 2. Маємо
однократний корінь k 1=1, якому відповідає частковий
x
розв’язок y 1 e , і двократний корінь k 2 = k 3 = 2, якому
x
2
відповідають частинні розв’язки y 2 e , y 3 xe 2 x .
Загальний розв’язок рівняння

y С e x С e 2 x С xe 2 x або
1
2
3