Page 96 - Лекція 1

6.2.Лінійні диференціальні рівняння n-го порядку
зі сталими коефіцієнтами.

Лінійним ДР n-го порядку із сталими коефіцієнтами
називається рівняння

y n ( ) a y n ( ) 1 a y n ( ) 2 ... a y f x( ), (6.6)
2
1
n
де а 1, а 2,..., а n - деякі числа.
Розглянемо відповідне ЛОР n-го порядку зі сталими
коефіцієнтами

y n ( ) a y n ( ) 1 a y n ( ) 2 ... a y 0 (6.7)
2
n
1

Будемо шукати частинний розв’язок цього рівняння у
kx
вигляді y=e . Підставимо цю функцію в рівняння (6.7) . Після
kx
скороченя на e дістанемо алгебраїчне рівняння

k n a k n 1 a k n 2 ... a n 1 k a n 0, (6.8)
1
2

kx
з якого визначаються ті значеня k, при яких функція y=e є
розв’язком рівняння (6.2). Рівняння (6.8) називається
характеристичним рівнянням для ЛОР (6.2). Рівняння (6.8) є
рівняння n-го степеня, тому має n коренів. Можна довести,
що:
1) будь-якому дійсному кореню k 1 характеристич-ного
рівняння (6.8), що має кратність r k( 1 k 2 ... k ),
r
відповідає r частинних розв’язків:

y 1 e k x y , 2 xe k x ,..., y r x r 1 e k x (6.9)
1
2
r