Page 94 - Лекція 1

y x( 0 ) y , y x( 0 ) y , (a x b ), (6.3)
0
0
y x( 0 ) y ,..., y n ( ) 1 x ( 0 ) y 0 n ( ) 1 0
0

існує єдиний розв’язок рівняння , що задовільняє цим
початковим умовам.
Нехай y x y x( ), 2 ( ),..., y x( ) n деяких частинних
n
1
розв’язків однорідного лінійного рівняння (6.2.). Визнач-ник

y x( ) y x( ) ... y x( )
2
1
n
'
'
'
y x( ) y x( ) ... y x( )
W x( ) 1 2 n (6.4)
''
''
''
y x( ) y x( ) ... y x( )
2
1
n
y n ( ) 1 x ( ) y n ( ) 1 x ( ) ... y n ( ) 1 x ( )
1 2 n

називається визначником Вронського (вронскіаном).
Частинні розв’язки y x y x( ), 2 ( ),..., y x( )ЛОР n-го
1
n
порядку утворюють фундаментальну систему частинних
розв’язків на деякому [ , ]a b , якщо в жодній точці цього
інтервалу визначник Вронського W(x) не перетворюється в
нуль.
Як і у випадку лінійних рівнянь другого порядку , для
лінійних рівнянь n-го порядку справедливі теореми про
структуру загального розв’язку.
Теорема 2. Якщо y x y x( ), 2 ( ),..., y x( ) частинні
n
1
розв’язки ЛОР n-го порядку (6.2) , що утворюють на [ , ]a b
фундаментальну систему розв’язків , то загальний розв’язок
має вигляд