Page 101 - Лекція 1

2). y y cos2 x.

3
Характеристичне рівняння k + k = 0 має корені k 1 = 0,
k 2 = i, k 3 = -i.
Загальний розв’язок однорідного рівняння має вигляд:
y 0 С 1 С cos x С sin x.
3
2
Частинний розв’язок неоднорідного рівняння треба
шукати у вигляді y * A cos2 x B sin 2 x.
y * 2 A sin 2 x 2 B cos2 x,

тоді y * 4 A cos2 x 4 B sin 2 x,
y * 8 A sin 2 x 8 B cos2 x.

Підставимо вирази y і y в дане рівняння, і зведемо
подібні члени:
8A sin 2x 8B cos 2x 2A sin 2x 2B cos 2x cos 2x

6A sin 2x 6B cos 2x cos 2x.
Прирівняємо коефіцієнти при sin 2x і cos2x у лівій і
правій частинах цієї рівності, дістанемо
1
A = 0, B = .
6
1
Тоді y sin 2 x - частинний розв’язок вихідно-го
6
рівняння, а
1
y y 0 y * С 1 С cos x С sin x sin 2 x - його
3
2
6
загальний розв’язок .

Вправи. Знайти загальний розв’язок рівняння: