Page 95 - Лекція 1

y С y x( ) С y x( ) ... С y x( ) (6.5)
1 1
2 2
n n

Теорема 3. Якщо y - частинний розв’язок ЛНР n-го
порядку (6.1) , а y 0 - загальний розв’язок відповідного
однорідного рівняння (6.2), то функція y = y 0 + y є загальним
розв’язком неоднорідного рівняння (6.1).
Зауваження.Функції y x y x( ), 2 ( ),..., y x( ) нази-
n
1
ваються лінійно залежними на [ , ]a b , якщо існують
числа 1 , 2 ,..., n , які одночасно не всі дорівнюють нулю і
такі, що

y x( ) ...
y x( )
y x( )
1 1 2 2 n n 0.

Якщо ця рівність виконується для всіх x [ a b, ] лише
за умови 1 2 ... n 0 , то такі функції називають

лінійно незалежними на [ , ]a b .
2
n
Наприклад, система функцій 1, x , x ,..., x є лінійно
незалежною на всій числовій осі.
Теорема 4. Для того, щоб система з n частинних
розв’язків рівняння (6.1) була фундаментальною на даному
інтервалі необхідно і достатньо, щоб ці розв’язки були
лінійно незалежними на цьому інтервалі.