Page 100 - Лекція 1

рівняння (6.2) і частинного розв’язку неоднорідного рівняння
(6.11). Розглянемо випадок, коли права частина рівняння має
спеціальний вигляд.
Правила складання форми частиного розв’язку
неоднорідного рівняння n-го порядку такі ж самі як у випадку
складання форми частинного розв’язку рівняння другого
порядку.

Приклади.Знайти загальний розв’язок рівняння:

1). y y 12 x 2 x 6 .

3 2
Характеристичне рівняння k - k = 0 має корені k 1 = k 2 = 0, k 3
= 1. Отже загальним розв’язком відповідного однорідного
x
рівняння y 0 = С 1+С 2x+С 3e .
Оскільки число 0 є двократним коренем
характеристичного рівняння, то частинний розв’язок треба
шукати у вигляді
2
2
y * x ( A x 2 A x A ) A x 4 A x 3 A x
1
0
2
3
2
0
Підставимо вираз для y * в данне рівняння, дістанемо
12A x 2 ( 24A 0 6A x) ( 6A 1 2A ) 12x 2 6x
2
0
1
12A 0 12
Звідси 24A 0 6A 1 0
6A 1 6A 2 0
Ця система має розв’язки A 0 = -1; A 1 = -5; A 2= -15, тому
2
3
4
y * = -x - 5x - 15x .
Загальний розв’язок рівняння
2
y С 1 С x С e x x 4 5 x 3 15 x .
3
2