Page 88 - Лекція 1

Частинний розв’язок рівняння треба шукати у вигляді
x
y * e x r ( A cos x B sin x) , де A і B -невідомі
коефіцієнти, r=0 або r=1.При цьому r=0 відповідає тому
випадку, коли або i не є коренями
характеристичного рівняння.

Приклади.Розв’язати рівняння:

1. y 5 y 6 y 13sin x 3

2
Розв’язання. Коренями характеристичного рівняння k -
5k+6=0 є k 1=2; k 2=3. Тому y 0 С e 2 x С e 3 x - загальний
2
1
розв’язок відповідного однорідного рівняння. Частинний
розв’язок неоднорідного рівняння треба шукати за випадкомІI,
оскільки права частина містить тригонометричні функції і її
можна записати у вигляді
f x( ) e x 0 (0 cos x 3 13 sin 3 x); тут 0 і 3.

Оскільки 0 3 i не є коренем характерирестичного рівняння,
то r=0 і частинний розв’язок будемо шукати у вигляді
x
y * e x 0 ( A cos3 x B sin 3 x) A cos3 x B sin 3 .
Маємо
y * 3 A sin 3 x 3 B cos3 x; y * 9 A cos3 x 9 B sin 3 x
Підставимо y y y, * , * у вихідне рівняння, зведемо подібні
*
члени і дістанемо:

( 3A 15B )cos3x (15A 3B )sin3x 13 sin3x .