Page 83 - Лекція 1

Загальний розв язок ДР (5.8) є y y 0 y (за 4.9), де
*
y загальний розв язок ДР (5.9) і y частинний розв язок
0
*
ДР (5.8). Загальний розв язок y однорідного рівняння
0
знаходити вміємо. Залишається розглянути питання
знаходження y . Для цього можна застосувати метод варіації
*
довільних сталих. Цей метод можна застосувати до будь-якої
диференційованої правої частини. Однак, якщо права частина
рівняння (5.8) є многочленом, показниковою функцією,
тригонометричною функцією sin x (cos x або лінійною
)
комбінацією перерахованих функцій (в цьому випадку кажуть,
що права частина рівняння f x( ) має спеціальний вигляд), то
частинний розв язок рівняння можна знайти значно простіше
методом підбору форми частинного розв язку (невизначених
коефіцієнтів), що не потребує процесу інтегрування.
Розглянемо окремі варіанти вигляду правої частини
f x( ).

x
І випадок: f x( ) e P x( ), де R ,
n
P x( ) a x n a x n 1 ... a n 1 x a .
0
n
1
n

У цьому випадку істотно вважати, що

x
y * e x Q ( ), (5.10)
n

де Q ( ) A x n A x n 1 ... A ) теж многочлен n-
x
n
0
n
1
го степеня з невідомими коефіцієнтами (їх є n 1)
A A A, 1 , 2 ,..., A .
0
n