Page 72 - Лекція 1

C x y( )[ 1 P x y( ) 1 Q x y( ) ]
1
1

C x y( )[ 2 P x y( ) 2 Q x y( ) 2 ]
2
C ( x y) 1 C ( x y) 2 f x( ).
2
1
Вираз, що міститься в дужках, перетворюється в нуль,
оскільки y і y є розв язками однорідного рівняння (4.15).
2
1
Отже, дістанемо систему рівнянь

C x y( ) 1 C ( x y) 2 0,
2
1
(4.20)
C x y( ) 1 C ( x y) 2 f x( )
1
2

x
З цієї системи можна однозначно знайти C ( ) і
1
x
C ( ) , бо визначником цієї системи є вронскіан
2

y y
1 2
W y y( , 2 ) , 0
1
y y 2
1
оскільки y і y є лінійно незалежними. Оскільки ми
1
2
x
шукаємо частинний розв’язок, то при знаходженні C ( ) і
1
x
C ( ) за їх похідними візьмемо сталі інтегрування рівними
2
нулю. Якщо підставити ці вирази у формулу (4.17), то
дістанемо частинний розв язок рівняння (4.14). Загальний
розв язок цього рівняння знаходимо за формулою (4.15).

Приклад. Розв язати рівняння

2 x 2 y 2
y y x 1
1 x 2 1 x 2