Page 77 - Лекція 1

y e k x ( k k ) x
1
1 e 1 2 const k,( 1 k ).
2
y 2 e k x
2

Тому вони утворюють фундаментальну систему
розв язків.
Внаслідок, загальним розв язком рівняння (5.1) згідно
з (4.9) є

2
1
y C e k x C e k x (5.4)
1
2

Приклад. Знайти загальний розв язок рівняння

y 7 y 12 y 0
Характеристичне рівняння k 2 7 k 12 0 має
корені k 1 3, k 2 4.Тому фундаментальна система

частинних розв язків: y 1 e 3 x y , 2 e 4 x .

Загальним розв язком рівняння є

y C e 3 x C e 4 x .
1
2

2) Корені характеристичного рівняння рівні
1
( k 1 k 2 ), а отже дійсні. У цьому випадку y 1 e k x -
розв язок. Знайдемо другий розв язок, лінійно незалежний з
першим. Будемо шукати його у вигляді

y 2 u x e( ) k x , (5.5)
1

де u x( ) нова невідома функція.