Page 69 - Лекція 1

Вираз в перщих дужках дорівнює нулю, оскільки y -
0
розв язок рівняння (4.15), а вираз в других дужках дорівнює
f x( ), оскільки y - частинний розв язок рівняння (4.14).
Отже, функція y y 0 y обертає рівняння (4.14) на
*
тотожність, а, значить є його розв язком.
2) Доведемо, що немає таких розв язків рівняння (4.14),
які не можна б записати у вигляді формули (4.16), тобто, що
вираз (4.15) є загальним розв язком рівняння (4.14). Для цього
візьмемо довільний розв язок рівняння (4.14) і розглянемо
різницю y y . Ця різниця є розв’язком однорідного

рівняння (4.15). Справді,

( y y * ) P ( )(x y y * ) Q ( )(x y y * )

(y P ( )x y Q ( ) ) (x y y P ( )x y Q ( )x y )

f ( )x f ( )x . 0

Це значить, що різницю y y можна записати так

0
0
y y C y x( ) C y x( ),
1 1
2 2

звідси
0
y C y 1 C 2 0 ( ) y 2 y ,
1
*

0
0
де C і C - визначені значення сталих C і C . Отже,
1
2
1
2
будь-який розв язок рівняння (4.14) можна дістати за
формулою (4.15). Якщо відповідним чином підібрати довільні
сталі C і C , тобто функція y y 0 y є загальним
1
2
*
розв язком рівняння (4.14).