Page 70 - Лекція 1

Отже, щоб знайти загальний розв язок ЛНДР, треба
знайти загальний розв язок відповідного йому однорідного
рівняння і будь-який частинний розв язок неоднорідного
рівняння.

Теорема 2. Якщо права частина рівняння (4.14) є
x
x
x
сумою двох функцій f x( ) f ( ) f ( ), а y ( ) і
1
2
1
x
y ( ) - частинні розв язки рівняння (4.14) з правими
2
x
x
частинами відповідно f ( ) і f ( ) , то сума
2
1
x
x
y ( ) y ( ) є розв язком рівняння (4.14).
2
1
x
x
Доведення. Оскільки y ( ) і y ( ) - розв язки
1
2
x
x
рівняння (4.14) з правою частиною f ( ) і f ( )
1
2
відповідно, то

x
y 1 P x y( ) 1 Q x y( ) 1 f ( ) ,
1

x
y 2 P x y( ) 2 Q x y( ) 2 f ( )
2

Якщо додати останні співвідношення, то дістанемо
(y 1 y 2 ) P ( )(x y 1 y 2 ) Q ( )(x y 1 y 2 )
f 1 ( )x f 2 ( ).x
x
x
Отже, y ( ) y ( ) є розв язком рівняння (4.14).
2
1

4.6. Метод Лагранжа (варіації довільних сталих).

Для відшукання частинного розв язку неоднорідного
рівняння застосовують метод Лагранжа, який часто називають
методом варіації (зміни) довільних сталих.