Page 76 - Лекція 1

y 1 e x cos x і y 2 e x sin x є розв язками рівняння
(5.1).
Доведення. 1) Нехай y e kx ( k const ) . Тоді

2
y ke kx y , k e kx . Підставимо y y y, , у рівняння
(5.1):

e kx ( k 2 pk q) 0.

Оскільки e kx 0, то дістанемо k 2 pk q 0.
Внаслідок , якщо k є коренем рівняння (5.2), то

функція y e kx розв язок рівняння (5.1).
2) Аналогічно випадку 1) можна переконатись, що
функції y 1 e x cos x і y 2 e x sin x є розв язками

рівняння (5.1).
Алгебраїчне рівняння (5.2) називається
характеристичним рівнянням даного диференціального
рівняння (5.1). Зазначимо, що характеристичне рівняння легко
2
дістати з (5.1) заміною y на k , y на k , y на 1.
Характеристичне рівняння (5.2) є квадратним, а тому
має два корені.
В залежності від характеру коренів рівняння (5.2)
можливі такі випадки:
1) Корені характеристичного рівняння дійсні і різні
( k 1 k 2 ). В цьому випадку (за теоремою 1(1)) є два

частинні розв язки рівняння (5.1):
1
2
y 1 e k x y , 2 e k x .
Ці розв язки лінійно незалежні, оскільки