Page 75 - Лекція 1

Лекція 5

Лінійні диференціальні рівняння другого порядку зі
сталими коефіцієнтами

Розглянемо окремий важливий випадок лінійних
рівнянь другого порядку, коли коефіцієнти рівняння є
сталими, тобто p x( ) p, q x( ) q , де p q R, . Такі

рівняння називаються рівняннями з сталими коефіцієн-тами.
Цей вид рівнянь особливо широко застосовується.

5.1 Лінійні однорідні диференціальні рівняння другого
порядку зі сталими коефіцієнтами

Розглянемо рівняння

y py qy 0 , p q R, . (5.1)

Відомо (теорема 4, лекція 4), що для знаходження
загального розв язку ЛОДР другого порядку досить знати його
фундаментальну систему частинних розв язків. Покажемо, як
знайти фундаментальну систему частинних розв язків для
однорідного ДР з сталими коефіцієнтами, а значить і його
загальний розв язок.
Теорема 1. 1) Якщо число k - дійсний корінь рівняння

k 2 pk q 0, (5.2)

то функція y e kx є розв язком рівняння (5.1);

2) Якщо числа k 1 i , k 2 i ( 0) -
комплексні корені рівняння (5.2), то функції