Page 68 - Лекція 1

4.5. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння
(ЛНДР).

Розглядаємо неоднорідне рівняння
y P x y( ) Q x y( ) f x( ) , (4.14)

і відповідне йому однорідне
y P x y( ) Q x y( ) 0 (4.15)

Загальнйи розв язок рівняння (4.14) визначає наступна
теорема.
Теорема 1. Загальний розв язок y (x) неоднорідного
x
рівняння (4.14) дорівнює сумі загального розв язку y ( )
0
відповідного однорідного рівняння і довільного частиннго
розв язку y x( ) неоднорідного рівняння, тобто
*

x
y y ( ) y x( ) (4.16)
0
*

Доведення. 1) Спочатку доведемо, що функція (4.16) є
розв язком рівняння (4.14). Підставимо в ліву частину
рівняння функцію y і її похідні y і y , дістанем

[y 0 P ( )x y 0 Q ( )x y 0 ] [y P ( )x y Q ( )x y ] f ( )x