Page 65 - Лекція 1

4
3
якщо відомі його частинні розв язки y 1 x , y 2 x .

Оскільки вронскіан у цьому випадку

x 3 x 4 6
W y y( 1 , 2 ) x 0, x 0
2
3 x 4 x 3
то розв язки y і y є лінійно незалежними. Загальний
1
2
розв язок даного рівняння такий
4
y C x 3 C x .
1
2

4.4. Метод відшукання розв язків ЛОДР, якщо
відомий один із частинних розв язків.

Зазначимо, що немає загального алгоритму
знаходження розв язку рівняння (4.3), але якщо відомо один
його розв язок y (його часто можна підібрати), то другий
1
розв язок y можна дістати на основі формули
2
Остроградського-Ліувілля.
Справді, знайдемо похідну відношення двох
розв язків
x
P x dx( )
y 2 y y y y W y y( 1 , 2 ) W 0 e x 0
2 1
1 2
y 1 y 1 2 y 1 2 y 1 2
(4.11)

Зінтегруємо співвідношення (4.11) і помножимо обидві
частини рівності на y , дістанемо
1