Page 64 - Лекція 1

C y[ 2 P x y( ) 2 Q x y( ) 2 ] 0;
2

оскільки y і y - розв язки рівняння (4.4), то вирази в
1
2
квадратних дужках рівні нулю. Отже, функція (4.9) обертає
рівняння (4.4) на тотожність при будь-яких значеннях C і
1
C , тобто вона є розв язком рівняння (4.4).
2
2) Доведемо, що для довільних початкових умов
y x( 0 ) y y x, ( 0 ) y
0
0
можна однозначно знайти C і C . Підставимо початкові
1
2
умови у співвідношення (4.9), дістанемо систему

C y C y y ,
1 10
2 20
0
(4.10)
C y C y y ,
1 10
2 20
0

для якої
y y
10 20 W y( 10 y , 20 ) 0 ,
y 10 y 20

оскільки y і y - лінійно незалежні (W ) 0 , і система має
2
1
єдиний розв язок. Підставимо знайдені з системи (4.10) C і
1
C у (4.9). Дістанемо розв язок y , що задовільняє даним
2
початковим умовам.

Приклад. Знайти загальний розв язок рівняння

6 12
y y y 0 ,
x x 2