Page 63 - Лекція 1

2
1
оскільки k 1 k . Отже, розв язки y 1 e k x і y 2 e k x є
2
лінійно незалежними.
2
1
Якщо розглядати y 1 e k x і y 2 e k x при
k 1 k 2 k , то вронскіан

e kx e kx
W y y( 1 2 ) =0 ,
ke kx ke kx

а тому розв язки y і y лінійно залежні.
2
1
Теореми (1) і (3) означають, що умова W y y( 1 , 2 ) 0
є необхідною і достатньою для того, щоб розв язки y і y
1
2
були лінійно залежними.

4.3. Структура загального розв язку ЛОДР другого
порядку.

Теорема 4. Якщо y і y - фундаментальна система
2
1
розв язків ЛОДР другого порядку (4.4), то функція

y C y C y , (4.9)
1 1
2 2

де C і C - довільні сталі, є загальним розв язком цього
1
2
рівняння, тобто дає всі розв язки його.
Доведення. 1) Підставимо функцію (4.9) в ліву частину
рівняння (4.3) і винесемо за дужки відповідно C і C , то
1
2
дістанемо

y P x y Q x y( ) ( ) C [ y 1 P x y( ) 1 Q x y( ) ]
1