Page 60 - Лекція 1

W y( 1 y , 2 ) , 0 x ( a b, )

Доведення. Як уже зазначалось, із залежності y і y
2
1
випливає, що y 2 Cy . Отже,
1.
y Cy 1 y 1 y 1
1
W y y( 1 , 2 ) = C = 0 .
y Cy 1 y 1 y 1
1

Але обернена теорема місця не має; окрім, якщо y і y -
2
1
лінійно незалежні розв’язки ЛОДР, то можна стверджувати і
обернене.
Зауважимо, що для визначника Вронського
справедлива формула Остроградського-Ліувілля:
x
P x dx( )
W W e x 0 (4.7)
0

Справді, нехай y і y – два частинні розв язки
1
2
рівняння (4.4), тобто

y 1 P x y( ) 1 Q x y( ) 1 0 ,

y 2 P x y( ) 2 Q x y( ) 2 0

Помножимо перше з цих рівнянь на y , а друге – на
2
y і віднімемо потім перший результат від другого, дістанемо
1
рівняння

y y y y P x( )( y y y y ) 0
2 1
2 1
2 1
1 2