Page 62 - Лекція 1

Теорема 3. Якщо розв язки y і y рівняння (4.4)
1
2
лінійно незалежні на [ , ]a b , то

W x y y( , , 2 ) , 0 x a b, .
1

Доведення. Нехай виконується обернене твердження,
тобто W 0 для деякого x 0 [ a b, ] . Тоді за теоремою 2
W 0 , тобто
y y y y 0
1 2
2 1

Нехай y 1 0 (в іншому разі останній вираз тотожно
дорівнює нулю).
2
Поділимо рівняння (4.8) на y , то матимемо
1

y y y y y 2
2 1
1 2
0
y 1 2 y 1

Зінтегрувавши це рівняння, дістанемо y 2 Cy , тобто
1
y y, 2 - лінійно залежні. Це суперечить умові теореми, тому
1
W x( 0 ) 0 .
1
2
Приклад. Нехай y 1 e k x y , 2 e k x , де k 1 k .
2
Тоді
1
2
e k x e k x
W y y( 1 2 ) =
k e k x k e k x2
1
1
2
( k 2 k 1 )e ( k 1 k 2 )x 0 , x R,